Numeretti

Le mie conoscenze in matematica sono a un livello che definire basale é un eufemismo.
Non ricordo più neppure come ricavare una funzione e fatico a rappresentare i più banali concetti statistici.
Ciononostante i numeri mi hanno sempre affascinato perché in essi mi par di vedere un percorso che, dal semplice far di conto, giunge fino a rappresentazioni formali della fisica fondamentale. E si spinge oltre, fino a dei "di per sé" apparentemente slegati da qualunque realtà fisica: come scavare un buco sempre più profondo, seguendo precise procedure, senza sapere se mai servirà a qualcosa.
Forse questa fascinazione é dovuta all’attrazione che l’ignoranza riserva, a volte, verso ciò che si conosce solo di striscio.

Numeri naturali 
I numeri naturali sono 0 1 2 3 etc... anzi questa é solo la loro rappresentazione grafica in uno specifico sistema di numerazione, quello decimale. É un sistema che ha i suoi vantaggi: con 10 simboli (compreso lo 0) siamo in grado di rappresentare anche numeri molto grandi e fare calcoli con una discreta efficienza. 

Non é l'unico, ne esistono altri, con o senza lo zero, ma é comunque uno dei più utilizzati perché noi abbiamo 10 dita e il primo sistema di conteggio sono proprio loro.
I processori, che non hanno dita ma transistors che fanno passare(1) o no(0) una corrente, utilizzano una rappresentazione binaria che, per loro, é la migliore; i Maya invece utilizzavano un sistema a base 20 (con lo zero) e alcuni popoli messicani un sistema a base 8 perché usavano, per contare, gli spazi tra le dita piuttosto che le dita stesse.
Lo 0 consente un sistema posizionale, ossia ogni numero indica unità, decine, centinaia etc a seconda della posizione che assume. Non é l'unico modo ma é il più efficace, altrimenti tocca fare come gli Antichi Romani e usare un simbolo che identifichi il 10, il 100, il 1000 e così via; loro usavano anche un grafo specifico per il 5 e i suoi multipli oltre un plus posizionale per distinguere la 4ª cifra e non allungare ulteriormente la rappresentazione grafica già impegnativa.
Tutto 'sto pippotto per dire che 1 in realtà é I e 2 in realtà é II e 3 in realtà III e 4 in realtà IIII e 5 in realtà IIIII e così via, ma abbiamo necessità di descrizione efficace, sia grafica che fonetica. 

I numeri naturali (e i numeri in generale) servono in misura diversa a seconda delle necessità contingenti: ci sono popolazioni di cacciatori-raccoglitori che non vanno oltre l’espressione fonetica di "tre" e il termine successivo é "molti", oppure per dire "quattro" dicono "due e due", oltre é "molto". Perché questo? Probabilmente perché non gli serve altro. 

Se invece si tratta di allevatori una mucca in più o in meno fa una certa differenza (anche riguardo lo status) e bisogna saper contare un bel po’ di più, ecco che sorge il problema di contare gli animali.

E in tale necessità che i numeri naturali iniziano a dispiegare i loro segreti perché, al di là della rappresentazione grafica, della individuazione fonetica e della base scelta, ci sono numeri con caratteristiche proprie, con identità precise che li rendono unici o perlomeno i primi a presentare tali caratteristiche.

Tralascio lo 0 e l'1 perché riguardano il concetto di campo che é un modo di definire i sistemi numerici che non maneggio e passo a 2. 

2 é l'unico numero primo pari, anche con il più potente computer immaginabile non se troverà mai un altro. É il vero primo numero perché é discutibile che 0 e 1 possano essere considerati tali avendo caratteristiche più fondamentali nella costruzione di un sistema numerico

3 é tante cose ma ciò che lo identifica di più é il fatto di essere l'unico numero primo cui segue un quadrato: 4. Anche in questo caso avendo il computer di prima non se ne troverà un altro

É chiaro che 1, 2 e 3 sono le vere star. Esprimono qualcosa di profondo anche dal punto di vista antropologico perché possono essere collegate a cose tipo l'unità, la coppia, la famiglia umana etc.

4 é il primo numero a non essere...primo, ossia é il primo numero composto ossia ha come divisori, oltre a 1 e se stesso, anche almeno un altro numero. Insomma tolte le monadi 0 e 1, tolti gli special ones 2 e 3, é il primo dei normali

5 é tante cose ma, tra le altre, pare essere l’unico numero intoccabile dispari. I numeri intoccabili sono una casta di infiniti numeri che non sono individuati dalla somma dei divisori di uno qualsiasi degli altri numeri. Es. i divisori di, che so, 9 sono 1 e 3... 1+3= 4 per cui 4 non é un numero intoccabile. Altro esempio: i divisori di 4 sono 1 e 2... 1+2=3 per cui anche 3 non é un numero intoccabile. Sembra una cosa cervellotica ma la teoria dei numeri é piena di queste congregazioni i cui numeri affiliati sono individuati da formule specifiche. 2 é quello che partecipa a quasi tutti i party ma 2 non é normale...

6 é il primo numero perfetto, ossia é uguale alla somma dei propri divisori: 1+2+3= 6. I numeri perfetti non sono molti, molti meno dei primi ad esempio, e 6 divenne per questo un numero importante nelle religioni ebraica e cristiana, nonché tra i pitagorici. Sant'Agostino lo stimava moltissimo e i 6 giorni della creazione parevano confermare questa sua preferenza.

7 è il primo numero felice in base 10 (a parte 1 che non conta). Come lo sappiamo? Prendete un numero qualsiasi e lanciate un algoritmo: 1º lo elevate al quadrato, 2º prendete le cifre che compongono il risultato le elevate al quadrato e le sommate, 3º prendete il numero risultante e continuate così... Se il numero é felice, ad un certo punto ottenete 1 e lì vi fermate se no entrate in un loop infinito e allora vuol dire che il numero di partenza era infelice. Però questa cosa dipende dalla base quindi non é così profonda, é solo un giochino...

É più notevole il fatto che 7 é una star internazionale dei numeri sacri, assieme a 3, ma forse anche di più. Pare anche sia il numero preferito della maggioranza delle persone: perché? Non lo so. Io lo avverto come un numero dalla personalità spiccata: non é scarso ma nemmeno eccessivo, é la somma del mollaccioso 4 e del volitivo 3, non ha l'antipatia del 5 né la protervia del 10. Solo il 6 compete con lui in quanto a equilibrio ma appare meno volitivo del 7.

Inoltre é l'ultima cifra del mostruoso numero di Graham, un numero così grande da non essere computabile e non lo sarà neppure in futuro, un Behemoth matematico 

Numeri relativi

Quando passi dall'allevamento al commercio di qualcosa inizi a misurare le cose e paragonarle tra loro, poi quando scopri l'uso del denaro inizi anche a considerare il debito, inizi anche a considerare che esistono valori negativi. Probabilmente quindi é l'atto dell’acquisto e dello scambio dove iniziano a far capolino i numeri negativi. 

I matematici antichi li incontrarono invece nella soluzione delle equazioni ma li snobbarono e, incredibilmente, si continuò a considerarli privi di senso fino a Leibniz. Ora siamo immersi nei numeri negativi, basta pensare alla finanza, alle scale di temperatura, ai confronti statistici ma per tanto tempo in Occidente hanno guardato ai numeri negativi che saltavano fuori dalle loro formule come a un fastidioso incidente matematico.

Numeri razionali

Quando si cominciò, sul serio, a coltivare le piante e sorsero degli appezzamenti che fornivano cibo e confini stabili, divenne necessario misurare le distanze ma non solo quelle. Anche perimetri e aree presero a essere importanti, prima al suolo, poi nelle misurazioni astronomiche (almeno io suppongo che l'ordine sia stato questo). Con la geometria nacque una nuova fase dei numeri: triangoli, quadrati e poligoni regolari mostrarono che i numeri non erano solo interi ma anche frazionari, esprimibili con un rapporto. Alcune di queste frazioni erano banali tipo 1/2 14/5 748/521 (rispettivamente riportabili anche  come 0,5 2,8 1,43570057582) altre un po’ meno tipo 1/3 perché la stringa numerica corrispondente é infinita 0,99999.... però siccome 1/3 per 3= 1 si capisce che l’infinito sta nella rappresentazione sicché  0,9periodico é uguale a 1. 

In pratica i numeri razionali sono sempre trasformabili in frazioni e i naturali sono quelli con 1 al denominatore tipo 5/1 48/1 etc.

Numeri reali

A un certo punto tramescando con diagonali e raggi comincia a saltar fuori qualcosa di strano: numeri non trasformabili in frazioni! Con questi numeri quando ti metti a calcolare i decimali non trovi un periodo, il crivello continua a estrarre nuove cifre senza che si trovi una formula ripetitiva per quanto lunghissima... niente! Sono numeri totalmente irrazionali! Sono i numeri irrazionali.

Allora come li rappresenti? Bé se sono soluzioni di equazioni come la diagonale del quadrato si usano le radici, radice di 2 per quello di lato unitario. In questo modo definiamo un numero che, moltiplicato per se stesso, porta a quello descritto sotto la radice. Anche se non potremo mai rappresentarlo compiutamente con tutte le sue cifre abbiamo trovato un metodo numerico per rappresentarlo.

E quelli che non sono neppure soluzioni di equazioni? Si chiamano trascendenti e qui l'unica possibilità é arrotondare o dargli un nome proprio e un simbolo che li individui.

Stavolta non dobbiamo pensare più che 1 sia I e 2 sia II ma che i numeri siano disposti su una linea che parte da 0 e va a + e -infinito. Una volta deciso dove sta 1, e quindi tutti gli altri numeri interi, ci troviamo con un mucchio di spazio da riempire e le frazioni non bastano: i numeri irrazionali sono la maggioranza tra tutti i numeri, anche se facciamo più fatica a collocarli nel posto preciso lungo la linea. 

Ci sono storie, immagino esagerate, su come i pitagorici fossero incapaci di accettare l’esistenza di tali entità numeriche che offendevano la loro idea di perfezione dei numeri e che abbiano mandato a morte il loro scopritore. Non sarà andata così, però probabilmente gli irrazionali furono un vero shock

In questa categoria si trovano delle vere star, una in particolare é famosa per il suo presenzialismo, stiamo parlando di Pi greco. 

Partito dalla circonferenza ha conquistato una pletora di formule nonché l'immaginario dell’umanità che gli ha addirittura dedicato un giorno, il 4 marzo. É così pervasivo che si penserebbe essere una costante che esce dalla matematica per diventare quasi metafisica visto che tende a Pi greco la sinuosità media di un fiume e un mucchio di rilevamenti casuali tendono a valori in cui é rappresentato lui. 

Però non é una costante fisica, basti dire che la gravità incurva lo spazio tempo e nello spazio tempo curvo (o iperbolico) il rapporto tra circonferenza e diametro non é più Pi greco ma altro a seconda della curvatura, e l'universo é localmente SEMPRE più o meno incurvato dalla gravità 

Se adesso il re dei numeri irrazionali é Pi greco nei tempi antichi tale ruolo era sicuramente appannaggio di Phi (minuscolo), la sezione aurea, il medio proporzionale tra un segmento e la sua metà 

L’importanza di Phi (minuscolo) sta nel fatto che, più o meno a ragione, individua un ideale di proporzioni, quindi di bellezza. La sezione aurea é anche presente in natura, per esempio nell'avvolgimento delle conchiglie delle chiocciole ed é legata alla Successione di Fibonacci di cui é il limite tendente a infinito. Nella Successione di Fibonacci un termine successivo é uguale alla somma dei 2 che lo precedono, ed é anch’essa rappresentata in natura, soprattutto nel mondo vegetale: il numero di petali dei fiori, il numero di foglie su un ramo verticale contandole fino a che non si compie un angolo giro, sono spesso numeri della successione di Fibonacci che però voleva, molto più prosaicamente, trovare una formula che rappresentasse la riproduzione dei conigli allevati...

Phi (minuscolo) non é un numero trascendente perché é una delle due soluzioni di un’equazione (l'altra é Phi maiuscolo) però fa cose strane, ad esempio sommando 1 a Phi si ottiene il suo quadrato e sottraendo 1 a Phi si ottiene il suo reciproco 1/Phi; la fa solo lui sta cosa. 

Inoltre Phi (minuscolo) é considerato il più irrazionale di tutti i numeri perché...non l'ho ben capito ma riguarda la difficoltà di approssimarlo con frazioni, non perché urla e strepita contro gli altri numeri ;-)

Il terzo big é "e", la base dei logaritmi naturali, il Numero di Nepero scoperto da Eulero. Ho poco da dire perché poco ne capisco però é presente nella Identità di Eulero 

Una delle più incredibili formule della matematica perché mette in relazione tre costanti: "e", Pi greco e l'unità immaginaria: "i" non seguita da phone o pod o pad :-)

Quindi partendo da una barretta, due barrette, tre battette..., aggiungendo la geometria e le proporzioni abbiamo scoperto strane creature, degli unicorni matematici che sono sempre stati lì, in attesa che noi li vedessimo.

Numeri complessi 

Se i numeri reali sono tali vien da pensare perché c'é bisogno di un numero che sia immaginario. "i" é immaginario perché ha una qualità impossibile per i numeri reali ossia il suo quadrato é negativo...

Che fanfaroni 'sti matematici! Prima affermano che ogni quadrato é positivo poi trovano un escamotage per dire che per uno strano affare 'sta cosa non vale, però questo affare non é mica reale, é immaginario...

Verrebbe da pensare che esista solo nella testa dei pazzi eppure "i" é utile in tanti calcoli che hanno una ricaduta su fenomeni fisici.

Ma non é solo questo, come già detto i numeri reali sono individuati su una retta che da zero, e in due versi va all’infinito: qualunque numero reale sta su questa retta. 

Ma se volessimo uscire dalla retta? Se vogliamo individuare un numero che sta su un piano, in qualche modo? Ci vuole allora un nuovo campo, un campo complesso. 

E così grazie all'unità immaginaria abbiamo i numeri complessi, ma non é finta qui perché da un piano possiamo passare ad uno spazio a 4 dimensioni e poi a uno a 8 dimensioni. Non so perché questi nuovi numeri vengano individuati in 2 o 4 o 8 dimensioni e non 3 e 7 tanto per dire, ma immagino che qui la parola dimensione abbia un’accezione diversa rispetto a quella che ha in geometria visto che esistono da mo' le geometrie n-dimensionali. Sotto uno specchietto: 

La cosa interessante dei Quaternioni é che non sono commutativi, cioè in una moltiplicazione conta l’ordine degli elementi. E questo lo possiamo capire con un esempio: mettersi scarpe e calzini non gode della qualità commutativa perché cambia se ti metti prima il calzino e poi la scarpa rispetto a che se ti metti prima la scarpa e poi il calzino 

Gli Octonioni sono anche non associativi e questa é una roba più dura da capire, almeno per me: é come se mettere i calzini dentro le scarpe e poi indossarli fosse differente che mettere prima i calzini sui piedi e poi indossare le scarpe (in effetti se usi dei fantasmini  la prima opzione da risultati effettivi molto diversi dalla seconda). Questo é il mio massimo di comprensione raggiungibile.

Ora queste strane creature, questi numeri immaginari o surreali, hanno degli utilizzi pratici: i numeri complessi sono utili in trigonometria, quando si ha che fare con l’elettricità, meccanica quantistica e altro; i quaternioni sono usati in computer grafica e diverse branche della fisica; gli octonioni sono esplorati sperando di trovare strumenti descrittivi delle simmetrie più profonde delle particelle elementari 

I numeri degli infiniti 

L’infinito non é realmente commensurabile. Non ne abbiamo esperienza quindi lo definiamo per contrapposizione al finito e per reiterazione (infinita) del superamento di un limite. Forse chi avverte la trascendenza se ne fa un'idea più cosciente ma potrebbe anche essere é un fenomeno di iterazione ridondante della coscienza che avverte se stessa.

Già così é difficile, ma ci sono ulteriori complicazioni....

In cosmologia l'universo può essere infinito nel senso di non avere confini però con un  volume misurabile, quindi finito: un po’ una versione tridimensionale della superficie di una sfera (o di una figura toroidale). Com'é possibile? Non lo so, é geometria a più dimensioni 

In matematica é pieno di infiniti, i numeri naturali, i numeri relativi, i numeri razionali e i reali sono tutti infiniti. Ma sono infiniti...uguali? 

Da un immagine a matrioshka si direbbe di no

però l'immagine é forviante perché ha solo una funzione classificatoria, in realtà a impressione si direbbe che un infinito é uguale ad un'altro, perché cosa può essere più di infinito? La mia personale logica(?) mi dice ancora così ma sbaglia come quella figura. 

Dopo che Gauss disse che trattare l’infinito in matematica era sconveniente, Cantor decise invece che bisognava farlo. Inventò gli insiemi e vide che era possibile correlare tra loro anche le quantità infinite, cioè fare si che ad un'elemento di un insieme ne corrisponda un altro, un po’ come capire che alla scarpa di un piede destro corrisponde necessariamente quella di un piede sinistro: so che, se anche non posso contare tutte le persone di una città, tale correlazione é comunque valida. 

Applicando il suo metodo (che io non so applicare ma fidatevi, non di me, di Cantor) si dimostra che gli insiemi dei numeri interi e relativi e i pari e i dispari e i razionali totali (quindi anche le frazioni) hanno tutti una corrispondenza biunivoca tra i loro elementi per cui questi infiniti hanno lo stesso numero di elementi. Ma non solo, la stessa corrispondenza biunivoca c'é tra i numeri tra zero e uno e tra i numeri interi e i loro quadrati, insomma la figura a matrioshka non la conta giusta. Non la conta giusta mai? No, se si confrontano i razionali e i reali col metodo Cantor invece qualche buco salta fuori: l’infinito dei numeri reali ha più elementi dell'infinito dei numeri razionali, si dice in termini matematici che ha "potenza" maggiore

Cantor allora numerò gli infiniti: Aleph-zero é un numero che identifica l’infinito tipo quello degli interi, dei razionali e anche di altre cose discrete e infinite (tutte quelle che vi vengono in mente) ed é un infinito numerabile, nel senso che puoi appiccicare una targhetta ad ogni elemento che lo enumera con un numero naturale...1º,2º,3º,4º,5º, etc°; 

L'infinito dei numeri reali, o l’infinito dei punti di una figura geometrica o una qualunque retta o semiretta ha un numero di elementi maggiore e spt non sono numerabili perché non sono discreti e sono identificati da Aleph-uno che ha una cardinalità maggiore di Aleph-zero. Insomma le distanze non sono numerabili e questa ho imparato essere una delle confutazioni del paradosso di Zenone. 

Ma si può andare avanti con la cardinalità degli infiniti? Secondo Cantor sì e quindi si può costruire Aleph-tre, -quattro, -cinque, -etc. E sempre secondo Cantor questa progressione non ammette frazioni, cioè tra un Aleph e il successivo non c'é nulla. Questa é l’ipotesi del continuo, roba che vola chilometri sopra la mia testa e su cui ha lavorato anche Gödel e altri pezzi grossissimi della matematica.

Al tempo di Cantor non si finiva più bruciati sul rogo ma quando si decide di parlare di infiniti più grandi e infiniti più piccoli un’opinione della Chiesa val la pena chiederla, tanto più che Cantor era credente e forse contava anche per lui. Lo fece e gli fu risposto, dopo un po’, che non c'erano problemi, però lui decise di distinguere tra questi numeri che chiamò Numeri transfiniti e l’infinito assoluto, immagino perché Dio non ammette infiniti più grandi di Lui e questo probabilmente aveva un senso anche per Cantor. 

Hilbert, uno dei matematici più importanti della storia, ebbe a dire che "nessuno potrà mai buttarci fuori dal paradiso che Cantor ha creato per noi", solo che Cantor mori solo, povero e pazzo, non propriamente un paradiso. 

Gauss, un genio per carità, mori ricco, famoso e celebrato. Diede anche il nome alle curve di distribuzione statistica che vediamo continuamente; forse aveva ragione lui...

"In un villaggio vi è un solo barbiere, un uomo ben sbarbato, che rade tutti e solo gli uomini del villaggio che non si radono da soli. Chi rade il barbiere?"

Paradosso di Russel